Квантовая физика

Уравнение Дирака

Релятивистское квантово-механическое уравнение, объединившее специальную теорию относительности и квантовую механику — и предсказавшее существование антиматерии.

(iγμ∂μ − m)ψ = 0

Что такое уравнение Дирака

В 1928 году британский физик Поль Дирак поставил перед собой амбициозную задачу: создать уравнение для электрона, которое одновременно удовлетворяло бы принципам квантовой механики и специальной теории относительности Эйнштейна.

Предшествующее уравнение Шрёдингера описывало квантовые частицы, но игнорировало релятивистские эффекты. Уравнение Клейна–Гордона было релятивистским, но давало отрицательные вероятности. Дирак нашёл элегантный выход.

Это уравнение было умнее меня.

— Поль Дирак о своём открытии
ψ

Спинор

Волновая функция ψ — это четырёхкомпонентный спинор, описывающий как электрон, так и его античастицу — позитрон.

γ

Матрицы Дирака

γμ — четыре матрицы 4×4, объединяющие пространство-время в единую алгебраическую структуру.

∂

4-градиент

∂μ — четырёхмерный дифференциальный оператор, действующий по всем координатам пространства-времени.

m

Масса покоя

m — масса частицы в натуральных единицах (ℏ = c = 1). Определяет порог возникновения пар частица–античастица.

Обозначения уравнения

i
Мнимая единица — обеспечивает волновой характер решений уравнения.
γμ
Матрицы Дирака размером 4×4, μ = 0, 1, 2, 3 — по числу измерений пространства-времени.
∂μ
Частная производная по координате xμ, включая временну́ю и пространственные компоненты.
ψ
Дираковский спинор — волновая функция частицы со спином ½, имеющая четыре комплексных компоненты.

Следствия и открытия

Уравнение Дирака имело поразительные предсказательные последствия, многие из которых были подтверждены экспериментально уже после публикации.

Спин электрона

Спин ½ возник естественным образом из математики уравнения — без дополнительных предположений.

Антиматерия

Отрицательно-энергетические решения предсказали позитрон — открытый Андерсоном в 1932 году.

Магнитный момент

Уравнение автоматически даёт правильный магнитный момент электрона, g ≈ 2, без поправок.

КЭД

Стало фундаментом квантовой электродинамики — самой точно проверенной теории в физике.

История открытия

1925
Гейзенберг, Шрёдингер и Паули закладывают основы квантовой механики. Уравнение Шрёдингера описывает электрон, но нерелятивистски.
1926
Клейн и Гордон предлагают релятивистское уравнение, но оно допускает отрицательные вероятности — физически неприемлемо.
1928
Поль Дирак публикует своё уравнение. Оно линейно по производным, релятивистски инвариантно и описывает частицу со спином ½.
1930
Дирак предсказывает существование «дырки» в море отрицательных энергий — античастицы с зарядом, противоположным электрону.
1932
Карл Андерсон обнаруживает позитрон в космических лучах. Предсказание Дирака подтверждено экспериментально.
1933
Дирак получает Нобелевскую премию по физике совместно с Шрёдингером — «за открытие новых продуктивных форм атомной теории».

Значение для современной физики

Уравнение Дирака остаётся одним из величайших достижений теоретической физики XX века. Оно не просто описывало известные явления — оно предсказывало принципиально новую реальность: существование антиматерии.

Сегодня уравнение Дирака лежит в основе квантовой теории поля, Стандартной модели элементарных частиц и описания всех фермионов — кварков, лептонов и нейтрино. Его математический аппарат используется в расчётах МРТ-томографов, физике конденсированного состояния и описании графена.